单调性的判断方法 常用步骤

判断函数单调性，核心看自变量增大时函数值如何变化。函数在某个区间上自变量增大，函数值也增大，函数就是单调递增；自变量增大，函数值变小，函数就是单调递减。对可导函数，可以用导数符号作为快速工具：在某个区间上导数大于0，函数单调递增；在某个区间上导数小于0，函数单调递减。常用方法包括定义法、导数法、图像法、基本函数性质法、复合函数法。做题时先明确定义域，再选方法，再做差或求导，最后写出区间结果。

核心方法

一、定义法

定义法最直接，适合所有函数。

做法：

1. 1、任取两个自变量，设为 x1、x2。
2. 2、规定 x1 < x2。
3. 3、比较 f(x1) 与 f(x2) 的大小。
4. 4、写出区间结果。

对应关系：

• • 若 x1 < x2，且 f(x1) < f(x2)，函数在该区间上单调递增。
• • 若 x1 < x2，且 f(x1) > f(x2)，函数在该区间上单调递减。

常用技巧：

1. 1、作差法：计算 f(x2) - f(x1)。
2. 2、整理差式：通过因式分解、通分、配方、平方差等方式整理。
3. 3、判断差式符号：差大于0，函数递增；差小于0，函数递减。

示例逻辑：

函数 f(x) = x²，在区间 (0, +∞) 上，取 x1 < x2，则 f(x2) - f(x1) = x2² - x1² = (x2 - x1)(x2 + x1)。因为 x2 - x1 > 0，x2 + x1 > 0，所以 f(x2) - f(x1) > 0，函数在 (0, +∞) 上单调递增。

二、导数法

导数法适合可导函数，速度较快。

原理：

1. 1、导数大于0，函数递增。
2. 2、导数小于0，函数递减。
3. 3、导数等于0，需要结合区间整体变化继续判断。

标准步骤：

1. 1、写出函数定义域。
2. 2、求函数导数 f (x)。
3. 3、令 f (x) = 0，找出分界点。
4. 4、判断每个区间内 f (x) 的符号。
5. 5、写出单调区间。

适用函数：

1. 1、多项式函数。
2. 2、分式函数。
3. 3、指数函数。
4. 4、对数函数。
5. 5、常见复合函数。

书写格式：

函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递增。

函数 f(x) 在区间 (c, d) 上单调递减。

三、图像法

图像法直观，适合能画出大致图像的函数。

看图像方式：

1. 1、从左往右看。
2. 2、图像上升，函数单调递增。
3. 3、图像下降，函数单调递减。
4. 4、水平线段对应的函数值保持不变。

常用图像：

四、基本函数性质法

常见函数可以直接用规律。

常用规律：

五、复合函数法

复合函数看内外层变化方向。

规则：

1. 1、外层函数和内层函数变化方向一致，整体递增。
2. 2、外层函数和内层函数变化方向不一致，整体递减。

判断步骤：

1. 1、找出内层函数。
2. 2、找出外层函数。
3. 3、分别判断内层和外层的单调性。
4. 4、组合得到整体单调性。

方法选择

标准流程

1. 1、明确函数定义域。
2. 2、观察函数类型。
3. 3、选择合适方法。
4. 4、计算、变形、比较大小。
5. 5、判断符号或变化趋势。
6. 6、写出单调区间。
7. 7、检查端点是否包含。
8. 8、用简洁数学语言输出结果。

书写模板

模板一：

设 x1、x2 是区间 D 内任意两个实数，且 x1 < x2。

f(x2) - f(x1) = ...

因为 ...

所以 f(x2) - f(x1) > 0。

因此 f(x) 在区间 D 上单调递增。

模板二：

函数 f(x) 的定义域为 D。

f (x) = ...

当 x ∈ (a, b) 时，f (x) > 0。

当 x ∈ (c, d) 时，f (x) < 0。

所以 f(x) 在 (a, b) 上单调递增，在 (c, d) 上单调递减。

简明总结

函数单调性判断，常用定义法和导数法。定义法看函数值随自变量增大而增大还是变小。导数法看导数在区间上的符号。图像法看从左往右的趋势。复合函数法看内外层变化方向是否一致。实际做题时，先明确定义域，再选择方法，最后规范写出区间结果。

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